Параметрическая идентификация линейной динамической системы. Параметрическая идентификация объектов Описание поведения объекта

Идентификация систем ЛА

Формирование моделей на основе результатов наблюдений и исследование их свойств - вот, по существу, основное содержание науки. Модели ("гипотезы", "за­коны природы", "парадигмы" и т.п.) могут быть более или менее формализованны­ми, но все обладают той главной особенностью, что связывают наблюдения в некую общую картину. Решение задачи построения математических моделей динамических систем по данным наблюдений за их поведением составляет предмет теории иденти­фикации, которая тем самым становится элементом общей научной методологии. А поскольку мы "окружены" динамическими системами, методы идентификации систем имеют широкие приложения. Цель данного раздела заключается в том. чтобы дать минимальное представление об имеющихся методах идентификации, их обосновании, свой­ствах и применении.

Динамические системы

Говоря нестрого, система - это объект, в котором происходит взаимодействие между разнотипными переменными и формируются наблюдаемые сигналы.

Интересующие нас наблюдаемые сигналы обычно называют выходными сигнала­ми. Все остальные сигналы называют входными сигналами и возмущениями, причем возмущения могут быть разбиты на два класса: измеряемые непосредственно и доступные лишь косвенной оценке по воздействию, оказываемому ими на выходной сигнал.

Рис 3.2 Движение судна в горизонтальной Рис. 3.3 Система динамики рулевого

плоскости (δ-команда на руль, управления (δ- входной сигнал, ψ-выходной

ψ- курсовой угол) сигнал, υ-неизмеряемая помеха)

Рис. 3.4. Входо-выходные данные для системы рулевой динамики судна (интервал между замерами -10с.)

Пример Динамика управления судном.

Движение судна происходит под действием тяговой силы винта и зависит от положения рулей, силы и направления ветра и волн. См. рис. 3.2. В качестве подпроблемы можно рассмотреть частную задачу о зависимости курса судна (направление движения носовой части) от положения рулей при постоянном тяговом усилии. Эта система изображена на рис. 3.3. Записи данных наблюдений показаны на рис. 3.4. Длительность интервала наблюдений составила 25 мин, замеры осуществлялись каждые 10 с.

Процедура идентификации системы. Три основных компонента

Конструирование моделей по данным наблюдений включает три основных ком­понента.

1. Данные.

2. Множество моделей-кандидатов.

3. Правило оценки степени соответствия испытываемой модели данным наблюдений
Прокомментируем каждый из этих компонентов.

1. Данные наблюдений. Входо-выходные данные иногда регистрируются в процес­се проведения целенаправленных идентификационных экспериментов, когда пользо­ватель может определить перечень и моменты измерения сигналов, причем некоторые из входных сигналов могут быть управляемыми. Задача планирования эксперимен-­
тов, таким образом, состоит в том, чтобы, учитывая возможные ограничения,
выбрать максимально информативные данные о сигналах системы. В некоторых слу-­
чаях пользователь может быть лишен возможности влиять на ход эксперимента и
должен опираться на данные нормальной эксплуатации.

2. Множество моделей. Множество моделей-кандидатов устанавливается посред­-
ством фиксации той группы моделей, в пределах которой мы собираемся искать
наиболее подходящую. Несомненно, это наиболее важная и в то же время наиболее
трудная часть процедуры идентификации. Именно на этом этапе знание формаль­-
ных свойств моделей необходимо соединить с априорным знанием, инженерным
искусством и интуицией. Множество моделей иногда становится результатом тща-­
тельного моделирования, после чего на основе законов физики и других достоверных
знаний формируется модель, включающая физические параметры с еще не определен­-
ными значениями. Другая возможность состоит в том, чтобы без всякого физичес-­
кого обоснования использовать стандартные линейные модели. Множество таких
моделей, у которых параметры рассматриваются прежде всего как варьируемые
средства подстройки моделей к имеющимся данным и не отражают физики процесса,
называется черным ящиком. Множества моделей с настраиваемыми параметрами,
допускающими физическую интерпретацию, называют серыми ящиками.

3. Определение на основе данных наблюдений "наилучшей" модели множества.
Эта часть есть собственно метод идентификации. Оценка качества модели связана,
как правило, с изучением поведения моделей в процессе их использования для вос­-
произведения данных измерений.

Подтверждение модели. В результате осуществления всех трех этапов процеду­ры идентификации мы получаем, хотя бы в неявной форме, конкретную модель: одну из множества, причем такую, которая в соответствии с выбранным крите­рием наилучшим образом воспроизводит данные наблюдений.

Остается проверить, "достаточно ли хороша" модель, т.е. выполняет ли модель свое предназначение. Такие проверки известны под названием процедур подтвержде­ ния модели. К ним относятся различные процедуры оценивания соответствия моде­лей данным наблюдений, априорной информации и поставленной прикладной цели. Неудовлетворительное поведение модели по каждому из этих компонентов заставляет нас отказываться от модели, тогда как хорошее ее функционирование создает определенную степень доверия к модели. Модель никогда нельзя считать окончательным и истинным описанием системы. Ее скорее можно рассматривать как способ достаточно хорошего описания тех аспектов поведения системы, которые представляют для нас наибольший интерес.

Контур идентификации системы. Процедура идентификации системы порождает следующую естественную логику действия: (1) собрать данные; (2) выбрать мно­жество

моделей; (3) выбрать наилучшую в этом множестве модель. Однако вполне

Рис. 3.5. Контур идентификации системы

вероятно, что первая из так найденных моделей не выдержит проверки на этапе под­тверждения. Тогда нужно вернуться и пересмотреть различные шаги процедуры. Существует несколько причин несовершенства моделей:

Численный метод не позволяет найти наилучшую по выбранному критерию модели;

Критерий выбран неудачно;

Множество моделей оказалось неполноценным в том смысле, что в этом мно-­
жестве вообще нет "достаточно хорошего" описания системы;

Множество данных наблюдений не было достаточно информативным для того,
чтобы обеспечить выбор хороших моделей.

По существу, главным в приложениях идентификации является итеративное ре­-
шение всех этих вопросов, особенно третьего, на основе априорной информации и
результатов предыдущих попыток. См. рис. 3.5.

Параметрическая идентификация объектов.

При построении моделей сложных технических систем простота математического описания иногда имеет не меньшее значение, чем универсальность модели и ее адекватность во всех условиях эксплуатации объекта.

В условиях реального эксперимента, когда априорная информация об исследуемой системе, протекающих в ней процессах и действующих возмущениях часто недостаточна для обоснования выбора алгоритма идентификации и типа формируемой модели, целесообразно решать задачу в классе линейных моделей с использованием «грубых» алгоритмов оценивания.

Применение алгоритмов идентификации, основанном на методе наименьших квадратов, по сравнению с прочими, накладывает минимальные ограничения и позволяет получать надежные оценки в самых разных условиях.

Описание линейных систем.

Поскольку обработка сигналов в вычислительной машине производится дискретно, то целесообразным является описание линейных систем и сигналов на основе Z – преобразования. При этом непрерывные процессы и отклик системы дискретезируются с тактовым шагом T 0 . (См. рис 3.6).

k = t / T 0

Переход к дискретному времени k=t/T 0 позволяет описывать поведение линейной сиситемы с помощью разностного уравнения.

Используя понятие Z – оператора, где , достаточно просто представляется непрерывное звено.

Общий вид:

или (обратно) в области времени:

Обратно в области времени:

Дифференциальное уравнение системы:

Где τ – чистое запаздывание.

Передаточная функция, следовательно, имеет вид:

Параметрическая идентификация линейных объектов

Цель лекции:

Изучить методы параметрической идентификации линейных объектов (статические и динамические детерминированные объекты).

Рассматриваем линейные объекты или объекты, которые с достаточной мерой приближения можно принять за линейные. В параметрическом случае модель определяется набором параметров, которые необходимо оценить в процессе идентификации. Чтобы уяснить процедуру минимизации функционала невязки, рассмотрим вначале статический детерминированный случай.

14.1 Статические детерминированные линейные модели

Модель линейного объекта с n входами и m выходами имеет единственную структуру и описывается системой линейных алгебраических уравнений

Идентифицируются m(n+1) коэффициентов c ij , i =1,..., m; j = 0,…, n.

В векторном виде эта система имеет вид

где X = (x 1 , x 2, ,…, x n ) - вход; Y = (y 1 , y 2, ,…, y n ) – выход; C 0 = (c 10 , …,c m 0);

Информацию об объекте можно представить в виде {X j , Y j k }, k =1,…,m, .

Идентифицируются C 0 и C.

Рассмотрим случай n>1, m=1. Случай m>1 сводится к m-кратному повторению рассматриваемого случая.

Итак, или

(n+1) неизвестных коэффициента подлежат оценке на основе информации {X j , Y j }, j =1,…,N, где X j =(x 1 j , x 2 j , …, x nj) - j-е состояние входа, Y j – реакция на этот вход.

Обычный подход к решению этой задачи - приравнивание выходов объекта и модели

, (14.1)

Получили N уравнений с (n+1) неизвестными (систему уравнений идентификации). Эта система имет единственное решение, если ранг матрицы

(14.2)

Это возможно в том случае, если найдены (n+1) линейно-независимых строк этой матрицы. Поэтому из Nпар следует выбрать (n+1) линейно-независимую строку:

В этом случае решение (14.1) определяет точное значение идентифицируемых параметров (если объект действительно линеен).

Однако при этом методе не используется вся исходная информация. Используем ее. Введем невязку:

где - локальная невязка (на i-той паре).

Задачу оценки параметров С можно теперь представить как задачу минимизации невязки (14.3), то есть свести к системе линейных алгебраических уравнений:

(14.4)

Определитель этой системы не равен нулю, если ранг (14.2) равен (n+1).

Решения систем (14.1) и (14.4) совпадают. Зачем же использовать этот более сложный метод, тем более, что (14.1) требует лишь (n+1)точку? Зачем остальныеN – (n+1) точек? Если объект действительно детерминированный и линейный, то эти точки не нужны и второй способ не стоит применять. Однако, возможно, что объект почти линеен. Тогда по двум точкам получается очень грубая модель. Второй способ как бы «спрямляет» объект.

Если же ранг системы (14.4) меньше (n+1)? В этом случае:

1. Повторить измерения (может быть, вначале состояния системы были недостаточно разнообразны). Если опять не получится, то изменить структуру модели.

2. Понизить число идентифицируемых параметров, то есть исключить рассмотрение одного из входов, например, того, который мало изменяется. И до тех пор, пока ранг (14.2) не совпадет с ее размерностью.

Немного из теории

Данная система дифференциальных уравнений характеризуется своими параметрами. В нашем случае это a , b , c и d . Они могут быть как статическими так и динамическими.

Что означают эти коэффициенты?

Применительно к реальным физическим динамическим системам эти коэффициенты дифференциального уравнения имеют конкретную физическую привязку. Например в системе ориентации и стабилизации космического аппарата данные коэффициенты могут играть различную роль: коэффициент статической устойчивости КА, коэффициент эффективности бортового управления, коэффициент способности изменять траекторию и т.п. Подробнее .

Задача наблюдения и измерения

Для того чтобы система была идентифицируема, она должна быть наблюдаема. То есть ранг матрицы наблюдаемости должен быть равен порядку системы. Подробнее про наблюдаемость .

Наблюдение процессов, происходящих в объекте, происходит следующим образом:

• у - вектор наблюдаемых параметров;
• H - матрица связи параметров состояния и наблюдаемых параметров;

Подробнее про вектора и матрицы

Динамическую систему которую мы описывали выше, можно представить в векторно-матричной форме:
где:

- помеховая составляющая.

Как мы видим погрешность измерения может быть как аддитивной (в первом случае), так и мультипликативной(во втором)

Задача идентификации

Видно, что параметры равны b = 1 , c = 0.0225 и d = -0.3 . Параметр a нам неизвестен. Попробуем дать его оценку с помощью метода наименьших квадратов.

Задача состоит в следующем: по имеющимся выборочным данным наблюдений за выходным сигналами с интервалом дискретизации Δt требуется оценить значения параметра, обеспечивающего минимум величины функционала невязки между модельными и фактическими данными.

Где - невязка, определённая как разность между выходом исследуемого объекта и реакцией, вычисленной по математической модели объекта.

Невязка складывается из неточностей структуры модели, погрешностей измерений и неучтённых взаимодействий среды и объекта. Однако, независимо от природы возникающих ошибок, метод наименьших квадратов минимизирует сумму квадратичной невязки для дискретных значений. В принципе, МНК не требует никакой априорной информации о помехе. Но для того, чтобы полученные оценки обладали желательными свойствами, будем предполагать, что помеха является случайным процессом типа белого шума.

Оценка по методу наименьших квадратов, минимизирующая критерий J , находится из условия существования минимума функционала:

Важным свойством оценок по МНК является существование только одного локального минимума, совпадающего с глобальным. Поэтому оценка является единственной. Ее значение определяется из условия экстремума функционала J :

То есть необходимо от функционала взять производную по a и приравнять ее к нулю.

Обращаю внимание, что - это «измеренные» значения фазовых координат и (или) , а - это фазовые координаты и (или) вычисленные по математической модели объекта. Но ведь в модели объекта, представленной в виде системы дифференциальных уравнений, и не выражены в явном виде. Для того, чтобы избавиться от этого безумия необходимо решить данную систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.

Решать можно как «вручную», так и используя какое-либо программное обеспечение. Ниже будет показано решение в MatLab. В итоге должна получится система алгебраических уравнений для каждого момента времени :

Где взять эти «измеренные» значения фазовых координат?

Вообще эти значения берутся из эксперимента. Но так как мы никакой эксперимент не проводили, то возьмем эти значения из численного решения нашей системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-5 порядка. Выберем параметр

Решение найдем встроенными функциями пакета MatLab. Подробнее . Решение данным методом показано ниже.

% обозначим тип переменных
syms x(t) y(t) a
% решим систему при заданных начальных условиях
S = dsolve(diff(x) == a*x + 1*y,"x(0)=20", diff(y) == 0.0225*x - 0.3*y,"y(0)=20");
% выберем решение первой фазовой координаты, так как именно в его уравнении
% содержится искомый параметр а
x(t) = S.x;
% найдем частную производную первого уравнения по параметру а (в
% соответствии с методом МНК)
f=diff(x(t),"a");
% теперь немного упростим получившееся выражение
S1=simplify(f);
% зададим переменной t массив значений T
t=T;
% найдем выражения, содержашие параметр а для каждого момента времени
SS=eval(S1);
% теперь в цикле, подставляя в каждое выражение значение «измеренной»
% первой фазовой координаты, определим параметр а для каждого момента
% времени T. Значения «измеренной» фазовой координаты берем из решения СДУ
% методом Рунге-Кутта 4-ого порядка
for i=2:81
SSS(i)=solve(SS(i)==X(i,1),a);
end
ist=zeros(length(T),1);
ist(1:length(T))=-0.7;
figure; plot(T,SSS,"b--",T,ist,"r-");
legend ("оценка параметра а","истинное значение");
grid on;

На графике синей пунктирной линией обозначена оценка параметра , а красной сплошной линией обозначено непосредственно «истинное» значение параметра модели . Мы видим, что примерно на 3,5 секунде процесс стабилизируется. Небольшое расхождение оценки параметра и «истинного» значения вызвано ошибками при решении системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.

«Моделирование систем»

1 Методы параметрической идентификации объектов управления.

2 Методы структурной идентификации объектов управления.

3 Методы математической обработки экспериментальной информации (регрессионный анализ).

4 Методы планирования эксперимента (полный факторный эксперимент).

5 Аналитический метод построения математических моделей на основе мгновенных балансов потоков веществ и энергии.

1 Методы параметрической идентификации объектов управления.

структурную и параметрическую идентификацию.

На этапе параметрической идентификации выполняется экспериментальная проверка модели.

Цель параметрической идентификации: уточнение (подстройка) внутренних параметров, когда с помощью структурной идентификации не удается достичь необходимой адекватности модели реальному объекту.

Используют критерии: модульный, квадратичный, показательный, минимаксный, взвешенный критерии. Задача сводится к оценке суммарной невязки, которая служит основным критерием, по нему проводится идентификация модели.

Если относительная квадратичная невязка не превышает 5% от суммы квадратов экспериментальных значений выходного параметра объекта, то модель считается адекватной.

Методы параметрической идентификации

Методы различают в зависимости от модели.

Модели бывают:

1. Статические и динамические.

2. Детерминированные и стохастические.

3. Линейные и нелинейные.

4. Непрерывные и дискретные.

Идентификация делится:

1. Активные и пассивные методы.

2. Непрерывные и дискретные.

Параметрическая идентификация для статической детерминированной модели y = F (x )

Модель объекта линейная, имеет n входов, m выходов и структуру, описываемую системой уравнений, которая в векторной форме имеет вид:

Y = B 0 + BX .

Допустим, модель имеет несколько входов и один выход, содержит число k = n + 1 неизвестных параметров.

Рассмотрим неадаптивный шаговый метод применительно к решению этой задачи. Суть метода: приравниваются выходы объекта и модели в каждом из n опытов, в результате получается система из N уравнений идентификации с n +1 неизвестными, которая имеет однозначное решение, если ранг матрицы равен n + 1..

Это условие может быть нарушено, если ряд факторов в некоторых опытах окажутся стабилизированными, например, по условию технологии. Тогда увеличивают число опытов, активно вмешиваются в работу объекта, либо снижают число идентификационных параметров.

В качестве критерия идентификации используется суммарная невязка модели и объекта.

Рассмотрим адаптивный шаговый метод. Суть метода: значение параметров модели связываются на двух следующих друг за другом шагах:

где J – алгоритм адаптации.

В качестве такого алгоритма часто используют метод наискорейшего спуска.

Достоинства метода: возможность использования текущей информации.

Недостаток: возникают проблемы сходимости процесса адаптации.

Параметрическая идентификация нелинейных моделей

Структуру нелинейной модели предполагают в виде суммы линейных и нелинейных частей. В связи с этим алгоритм аналогичен линейному, только необходимо учесть нелинейность модели.

Объект отражается в виде функции F (X , B ) с неизвестными параметрами B .

Неизвестная функция объекта F 0 (X ) представлена в виде известной функции с неизвестными параметрами Y = F (X , B ). Чтобы определить неизвестные параметры B , приравнивают состояние модели и объекта для каждого из наблюдений. Решение сводится к задаче минимизации суммарной невязки:

2 Методы структурной идентификации объектов управления.

Идентификация объектов - построение оптимальных математических моделей по реализации их входных и выходных параметров.

Задача идентификации: количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту.

В зависимости от априорной (исходной) информации об объекте различают структурную и параметрическую идентификацию.

Предметом структурной идентификации является определение вида функции Y теор связывающей входные переменные Х . Структурная идентификация включает в себя: постановку задачи; выбор структуры модели и её математическое описание; исследование модели.

Задачи вскрытия структуры объекта:1) выделение объекта из среды; 2) ранжирование входов и выходов объекта по степени их влияния на конечный целевой показатель; 3) определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели; 4) определение характера связи между входом и выходом модели объекта.

1) Выделение объекта из среды определяется целями, для которых строится модель. Модель строится так, чтобы она имела минимум связей с внешней средой. В зависимости от информации об объекте осуществляют переход к более сложной форме объекта. Далее происходит расширение объекта за счет присоединения части среды и этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут эффективно достигаться цели управления.

Спектральные методы идентификации основаны на использовании аппарата матричных операторов. Эти методы являются дальнейшим развитием частотных методов и основываются на разложении сигналов объекта по ортонормированным функциям, не обязательно гармоническим. Результатом идентификации является определение ядра интегрально уравнения объекта, которое в простейшем случае линейных одномерных систем совпадает с функцией веса. Поэтому эти методы также можно отнести к непараметрическим методам идентификации.

Спектральные методы могут применяться для идентификации нестационарных систем, параметры которых, и в частности ядро интегрального уравнения, изменяются во времени.

Параметрическая идентификация

Параметрическая идентификация моделей объектов позволяет сразу находить значения коэффициентов модели объекта по измеряемым значениям управляемого y и управляющего u сигналов объекта. При этом предполагается, что структура и порядок модели объекта уже известен. Измеряемые значения y и u представляются в виде временного ряда, поэтому в результате идентификации оцениваются параметры АРСС - модели объекта, или параметры его дискретной передаточной функции. Зная коэффициенты АРСС - модели и ее структуру можно перейти к непрерывным структурированным моделям и моделям в пространстве состояний.

В задачах параметрической идентификации используются модели объекта с шумом измерений, задаваемые передаточными функциями - и структурой. Считая порядки моделей заданными, задачей параметрической идентификации стохастической системы считается определение оценок коэффициентов полиномов модели A,B,C и D по результатам измерений входа u(t) и выхода y(t) . Свойства получаемых оценок (состоятельность, несмещенность и эффективность) зависят от характеристик внешних возмущений и метода идентификации, при этом существенную роль играет вид закона распределения внешних возмущений.

Важным преимуществом методов параметрической идентификации является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации.